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技術頻道

數(shù)模轉換過程中的頻譜失真及其校正方法


1 數(shù)模轉換器(D/A)的數(shù)學模型[1]
  設數(shù)字化信號處理系統(tǒng)的原始模擬輸入信號為xa(t),經(jīng)過沖激采樣,得到理想采樣信號

式(1—1)中T為采樣的時間間隔。

  (ω)是xa(ω)的周期重復,重復周期為采樣角頻率ωs。若模擬信號xa(t)=sinω0t,采樣信號及其頻譜如圖1—1a、圖1—1 b所示。圖中,信號頻率為0.1ωs,其它對稱于ωs、2ωs、3ωs等處的頻率成分為基帶信號的鏡象和諧波,幅值和基帶信號相同。如將采樣信號恢復為模擬信號,僅需濾除這些鏡象和諧波,保留基帶信號即可。
  在實際系統(tǒng)中,理想采樣信號通過A/D轉換器在t=nT時刻量化為數(shù)據(jù)序列x(n),經(jīng)D/A轉換器輸出,波形如圖1—2a所示。圖中波形可以看作是一系列矩形脈沖的順序排列組合,每一個矩形脈沖是D/A轉換器對輸入數(shù)據(jù)的沖激響應,故D/A轉換器的單位沖激響應為一高度為1,寬度為T的矩形脈沖,表示為
式(1-3)中,u(t-T)分別為t=0和t=T時刻的單位階躍函數(shù)。由此,D/A轉換器的輸出波形可由下式表達

D/A轉換器的頻率響應函數(shù)H(jω)為式(1—3)的傅里葉變換,即

  當以時間間隔T向D/A轉換器傳遞數(shù)據(jù)序列x(n)時,可以認為式(1—1)所示的理想采樣信號作用在D/A轉換器的輸入端,其輸出信號的頻譜幅值為
和H(ω)的圖形分別如圖1—2b中實線和虛線所示。與圖1—1b中采樣信號的頻譜對比,D/A轉換器相當于一種非理想的低通濾波器。雖然不同程度地濾除了高頻端的諧波分量,但在的有效頻帶內,濾波器的增益隨著頻率的增高而下降,造成信號的頻譜失真。
2 D/A轉換過程中頻譜失真的校正方法
針對D/A轉換器的頻響特性,校正網(wǎng)絡在0~頻帶內應是一個高頻提升網(wǎng)絡。其頻響函數(shù)直接由式(1—6)導出

式(2—1)中略去了H(ω)的系數(shù)T。文中利用FIR型數(shù)字濾波器實現(xiàn)式(2—1)的校正特性。
  FIR型數(shù)字濾波器的頻率采樣設計法可以實現(xiàn)任意的頻率響應特性。其基本的設計思想是對理想頻響特性Hd(ω)進行頻率取樣,然后對取樣值進行離散頻率、離散時間的傅里葉反變換,獲得濾波器的單位沖激響應h(n)。而濾波器計算公式為h(n)與輸入序列x(n)的離散卷積運算。
  對于式(2—1)所示的理想特性,濾波器的單位沖激響應為


濾波器的輸出公式為

  將單位沖激響應h(n)進行一次離散時間、連續(xù)頻率的傅里葉正變換,就得到連續(xù)頻率變量的濾波器頻響函數(shù)

取M=20,由式(2—3)計算濾波器的沖激響應h(n)如圖2-1a所示。由式(2-6)計算0~圍內的濾波器頻響特性如圖2—1b所示,其中虛線為D/A轉換器的頻響特性。將式(2—6)與式(1—6)相乘,得校正后0~3ωs范圍內濾波器和D/A轉換器的總頻響曲線,如圖2—1c所示,其通帶波動不超過1‰。
  為檢驗實際校正的結果,設模擬輸入信號為雙頻信號

分別為1Hz和10Hz。取采樣頻率為25Hz,令采樣并量化的序列x(n)經(jīng)式(2—4)校正運算后再由D/A轉換器輸出,則恢復的波形頻譜如圖2—1d所示。由圖2—1可見,在0的頻率范圍內,頻譜已得到精確的校正,原始信號兩個頻率成分在經(jīng)過A/D和D/A轉換后能夠保持精確的相等。
3 結束語
D/A轉換器是一個數(shù)字模擬混合器件。但在分析中,將以相等時間間隔鎖定到D/A轉換器的數(shù)據(jù)序列看作是理想采樣信號,從而導出了D/A轉換器的幅頻特性式(1—6)。說明了D/A轉換器可以看作是一種特殊的模擬低通濾波器。又根據(jù)式(1—6),直接寫出校正網(wǎng)絡理想化的傳遞特性式(2—1),由此利用頻率采樣法設計FIR校正濾波器,具有理想的頻譜校正效果。




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